¿Cuáles son las regularidades de la tabla pitagórica?

Todo gráfico tiene un número par de vértices de grado impar

Los patrones en la naturaleza son regularidades visibles de la forma que se encuentran en el mundo natural. Estos patrones se repiten en diferentes contextos y a veces pueden modelarse matemáticamente. Entre los patrones naturales se encuentran las simetrías, los árboles, las espirales, los meandros, las olas, las espumas, las teselaciones, las grietas y las rayas[1]. Los primeros filósofos griegos estudiaron los patrones, y Platón, Pitágoras y Empédocles intentaron explicar el orden en la naturaleza. La comprensión moderna de los patrones visibles se desarrolló gradualmente con el tiempo.

Las matemáticas, la física y la química pueden explicar los patrones de la naturaleza a diferentes niveles y escalas. Los patrones en los seres vivos se explican por los procesos biológicos de selección natural y selección sexual. Los estudios sobre la formación de patrones utilizan modelos informáticos para simular una amplia gama de patrones.

Los primeros filósofos griegos intentaron explicar el orden en la naturaleza, anticipándose a los conceptos modernos. Pitágoras (c. 570-495 a.C.) explicó que los patrones de la naturaleza, como las armonías de la música, surgían del número, que consideraba el constituyente básico de la existencia[a] Empédocles (c. 494-434 a.C.) anticipó en cierta medida la explicación evolutiva de Darwin sobre las estructuras de los organismos[b] Platón (c. 427-347 a.C.) defendió la existencia de universales naturales. Consideraba que éstos consistían en formas ideales (εἶδος eidos: “forma”) de las que los objetos físicos no son más que copias imperfectas. Así, una flor puede ser aproximadamente circular, pero nunca es un círculo perfecto[2]. Teofrasto (c. 372-c. 287 a.C.) observó que las plantas “que tienen hojas planas las tienen en una serie regular”; Plinio el Viejo (23-79 d.C.) señaló su disposición circular modelada. [3] Siglos más tarde, Leonardo da Vinci (1452-1519) observó la disposición en espiral de los patrones de las hojas, que los troncos de los árboles ganan anillos sucesivos a medida que envejecen, y propuso una regla que supuestamente se satisface con las áreas de la sección transversal de las ramas de los árboles[4][3].

Utilizar triángulos rectos especiales para determinar los valores que faltan

En el fresco de Rafael La Escuela de Atenas, Pitágoras aparece escribiendo en un libro mientras un joven le entrega una tablilla con la representación diagramática de una lira sobre un dibujo de la tetractys sagrada.

El pitagorismo se originó en el siglo VI a.C., basándose en las enseñanzas y creencias de Pitágoras y sus seguidores, los pitagóricos. Pitágoras estableció la primera comunidad pitagórica en Crotona, Italia. Las primeras comunidades pitagóricas se extendieron por toda la Magna Grecia.

Tras la inestabilidad política en Magna Grecia, algunos filósofos pitagóricos huyeron a la Grecia continental, mientras que otros se reagruparon en Rhegium. Hacia el año 400 a.C., la mayoría de los filósofos pitagóricos habían abandonado Italia. Las ideas pitagóricas ejercieron una marcada influencia en Platón y, a través de él, en toda la filosofía occidental. Muchas de las fuentes que se conservan sobre Pitágoras proceden de Aristóteles y de los filósofos de la escuela peripatética.

Como tradición filosófica, el pitagorismo revivió en el siglo I a.C., dando lugar al neopitagorismo. El culto a Pitágoras continuó en Italia y, como comunidad religiosa, los pitagóricos parecen haber sobrevivido como parte de los cultos báquicos y del orfismo, o haber influido profundamente en ellos.

Triángulos rectos especiales en geometría: 45-45-90 y 30-60-90

La enseñanza más identificada con Pitágoras es la metempsicosis, o la “transmigración de las almas”, que sostiene que toda alma es inmortal y, al morir, entra en un nuevo cuerpo. También puede haber ideado la doctrina de la musica universalis, que sostiene que los planetas se mueven de acuerdo con ecuaciones matemáticas y, por tanto, resuenan para producir una sinfonía musical inaudible. Los estudiosos debaten si Pitágoras desarrolló las enseñanzas numerológicas y musicales que se le atribuyen, o si esas enseñanzas fueron desarrolladas por sus seguidores posteriores, en particular Filolao de Crotona. Tras la decisiva victoria de Crotona sobre Sibaris en torno al 510 a.C., los seguidores de Pitágoras entraron en conflicto con los partidarios de la democracia y las casas de reunión pitagóricas fueron quemadas. Es posible que Pitágoras fuera asesinado durante esta persecución, o que escapara a Metaponto, donde finalmente murió.

En la antigüedad, a Pitágoras se le atribuyeron muchos descubrimientos matemáticos y científicos, como el teorema de Pitágoras, la sintonía pitagórica, los cinco sólidos regulares, la teoría de las proporciones, la esfericidad de la Tierra y la identidad de las estrellas de la mañana y de la tarde con el planeta Venus. Se dice que fue el primer hombre que se autodenominó filósofo (“amante de la sabiduría”)[c] y que fue el primero en dividir el globo en cinco zonas climáticas. Los historiadores clásicos debaten si Pitágoras hizo estos descubrimientos, y muchos de los logros que se le atribuyen probablemente se originaron antes o fueron realizados por sus colegas o sucesores. Algunos relatos mencionan que la filosofía asociada a Pitágoras estaba relacionada con las matemáticas y que los números eran importantes, pero se discute hasta qué punto, si es que lo hizo, contribuyó realmente a las matemáticas o a la filosofía natural.

Pi se esconde en las regularidades primarias

Determinar cuándo se tocan los objetos en la pantalla es un aspecto importante de la mayoría de los juegos. En esta lección veremos cómo se puede utilizar el Teorema de Pitágoras y la Fórmula de la Distancia para medir la distancia entre dos puntos del plano, y luego decidir si esos dos puntos (o personajes del juego) se tocan.

Supongamos que dos objetos se mueven por el espacio, cada uno con sus propias coordenadas (x,y). ¿Cuándo empiezan a solaparse sus bordes? Ciertamente se solapan si sus coordenadas son idénticas (x1 = x2, y1 = y2), pero ¿qué ocurre si sus coordenadas están separadas por una pequeña distancia? ¿Cómo de pequeña tiene que ser esa distancia para que sus aristas se toquen?

En una dimensión, es fácil calcular cuándo dos objetos se solapan. En este ejemplo, el círculo rojo tiene un radio de 1, y el círculo azul tiene un radio de 1,5. Los círculos se solapan si la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios (1 + 1,5 = 2,5). ¿Cómo se calcula la distancia entre sus centros? En este ejemplo, sus centros están separados por 3 unidades, porque 4 – 1 = 3.